Publié le par kamoke

Physique 2016

Cette proposition de correction est destinée à aider les candidats à préparer leur concours. Elle n’est pas garantie à 100%.

Le sujet est disponible ici.

O1MM Physique 2016

1ère QUESTION

  1. La force de gravité exercée sur Triton est dirigée vers Neptune :

\(\vec F=-G.\dfrac{M_N.M_1}{R_1^2}.\vec u\)

\(F=6,67.10^{-11}\times\dfrac{1,025.10^{26}\times2,147.10^{22}}{(3,547.10^8)^2}=1,17.10^{21}N\)

  1. Représentation schématique de la base de Frenet :

RFD \(\Rightarrow \sum \vec F=m.\vec a\). Triton n’est soumis qu’à la force de gravité donc :

\(-G.\dfrac{M_N.M_1}{R_1^2}.\vec u=M_1.\vec a\)

\(\Rightarrow \vec a=-G.\dfrac{M_N}{R_1^2}.\vec u\)

Dans le repère de Frénet, on sait que l’accélération peut être décomposée en une composante tangentielle est une composante radiale telles que :

\(\vec a=\dfrac{dV}{dt}.\vec t+\dfrac{V^2}{R_1}.\vec n\)

En identifiant cette expression de l’accélération avec celle au-dessus, il apparaît que la composante de l’accélération selon \(\vec t\) est nulle, donc \(\dfrac{dV}{dt}=0\) donc la vitesse est constate. Le mouvement de Triton est donc uniforme.

  1. En identifiant les deux mêmes expressions, pour ce qui est de leurs composantes en \(\vec n\), on obtient :

\(\dfrac{V^2}{R_1}=G.\dfrac{M_N}{R_1^2}\)

\(\Rightarrow V=\sqrt{\dfrac{G.M_N}{R_1}}\)

  1. La vitesse est

\(V=\sqrt{\dfrac{G.M_N}{R_1}}=\sqrt{\dfrac{6,67.10^{-11}\times1,025.10^{26}}{3,547.10^8}}=4390m.s^{-1}\)

La vitesse calculée est de \(4,39 km.s^{-1}\), un peu supérieure à celle donnée dans l’énoncé, mais cette dernière est donnée avec un seul chiffre significatif et la vitesse calculée, à un chiffre significatif, s’arrondit aussi à \(4 km.s^{-1}\).

  1. La période de révolution est le temps nécessaire pour effectuer une fois le tour de Neptune. La distance à parcourir est la circonférence du cercle correspondant, soit \(d=2.\pi.R_1\).

On sait que \(T_{rev}=d/V=2.\pi.R_1.\sqrt{\dfrac{R_1}{G.M_N}}=2.\pi.\sqrt{\dfrac{R_1^3}{G.M_N}}\)

  1. Application numérique

\(T_{rev}=2.\pi.\sqrt{\dfrac{(3,547.10^8)^3}{6,67.10^{-11}.1,025.10^{26}}}=508000s=5,875\ jours\ solaires\approx 5,877\ jours\ solaires\)

La légère différence est peut-être due à des arrondis ; par exemple sur la durée du jour solaire qui est en fait de 86 164 secondes.

2ème QUESTION

  1. Le poids du proton a pour norme \(P=m_{proton}.g=1,73.10^{-26}N\)

La force électrostatique a pour norme \(F=e.E=8.10^{-16}N\)

On a donc \(F/P\approx 10^{10}\) ; la force électrostatique est plus d’un milliard de fois supérieure au poids.

  1. La plaque (P) est positive et (N) est négative, donc \(U_{PN}>0\)

On sait que \(E=\dfrac{U_{PN}}{d}\Rightarrow U_{PN}=E.d=5000\times 0,1=500V\)

  1. D’après la 2ème loi de Newton, \(\sum \vec F=m. \vec a\)

Comme on peut négliger la force de gravité, il reste que la force électrostatique :

\(e. \vec E=m. \vec a\)

\(-e.E.\vec j=m. \vec a\)

On a donc \(a_x=0\) et \(a_y=-\dfrac{eE}{m_{proton}}=-\dfrac{1,6.10^{-19}\times 5000}{1,67.10^{-27}}=-4,79.10^{11}m.s^{-2}\)

  1. On intègre l’accélération pour obtenir d’abord la vitesse, puis la position.

\(a_x=0\Rightarrow v_x=Cte\) Comme à \(t=0\), \(v_x=v_0.cos\alpha\), quel que soit t, on a \(v_x(t)=v_0.cos\alpha\)

On intègre à nouveau :

\(x(t)=v_0.cos\alpha.t+Cte\) comme à t=0 on a \(x=0\), la constante est nulle

\(\Rightarrow x(t)=v_0.cos\alpha.t\)

On procède ensuite de même sur l’axe (Oy) :

\(a_y=-\dfrac{eE}{m_{proton}}\)

\(\Rightarrow v_y(t)=-\dfrac{eE}{m_{proton}}\cdot t+Cte\)

A \(t=0\), \(v(0)=v_0\sin\alpha\) donc c’est aussi la valeur de la constante.

\(\Rightarrow v_y(t)=-\dfrac{eE}{m_{proton}}\cdot t+v_0\sin\alpha\)

On intègre une seconde fois, et en prenant en compte qu’à \(t=0\) on a \(y=0\), on obtient :

\(y(t)=-\dfrac{eE}{2m_{proton}}\cdot t^2+v_0\sin\alpha\cdot t\)

  1. Equation cartésienne de la trajectoire :

Comme \(x(t)=v_0.cos\alpha.t\), on peut écrire : \(t=\dfrac{x}{v_0.cos\alpha}\) et remplacer \(t\) dans l’expression de \(y\) :

\(y(t)=-\dfrac{eE}{2m_{proton}}\cdot t^2+v_0\sin\alpha\cdot t=-\dfrac{eE}{2m_{proton}}\cdot {(\dfrac{x}{v_0.cos\alpha}})^2+v_0\sin\alpha\cdot \dfrac{x}{v_0.cos\alpha}\)

\(y(t)=-\dfrac{eE}{2m_{proton}v_0^2.cos^2\alpha}x^2+\tan\alpha\cdot x\)

On a un polynôme de forme \(y=ax^2+bx+c\) donc la trajectoire est une parabole.

Au point de sortie \(S\) on a \(x_S=L\)

\(\Rightarrow y_S=-\dfrac{eE}{2m_{proton}v_0^2.cos^2\alpha}L^2+\tan\alpha\cdot L\)

\(\Rightarrow y_S=-\dfrac{1,6.10^{-19}\times 5000}{2\times 1,67.10^{-27}\times (1,0.10^6)^2\times cos^210°}\times 0,20^2+\tan10° \times 0,2=0,045m=4,5cm\)

3ème QUESTION

  1. L’enregistrement 1 correspond au diapason, le 2 à la guitare.

  2. On lit qu=e pour chacun des enregistrements, on a 4 périodes en 9,2ms. Ils ont donc la même fréquence :

\(f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{4}{9,2.10^{-3}}=440Hz\)

  1. Le spectre de fréquence du diapason ne fait apparaître qu’une fréquence, la fondamentale, alors que celui de la guitare comprend aussi des harmoniques.
  1. Le niveau sonore est \(L=10\log_{10}\dfrac{I}{I_0}\)

\(\Rightarrow \dfrac{I}{I_0}=10^{L/10}\)

\(\Rightarrow I=I_0\cdot 10^{L/10}=10^{-12}\times 10^7=10^{-5}W.m^{-2}\)

  1. \(L=10\log_{10}\dfrac{2\times10^{-5}}{10^{-12}}=73dB\)

  2. On a montré ci-dessus que :

\(I=I_0\cdot 10^{L/10}\)

\(\Rightarrow I=10^{-12}\times 10^{\frac{79}{10}}=8.10^{-5}W.m^{-2}\)

Comme l’intensité produite par une guitare est \(10^{-5}W.m^{-2}\), il faudra 8 guitares pour avoir \(8.10^{-5}W.m^{-2}\) et donc 79dB.

4ème QUESTION

  1. Le flux est obtenu par la relation \(\Phi=\dfrac{\Delta T}{R_{th1}}\)

\(\Rightarrow R_{th1}=\dfrac{\Delta T_1}{\Phi_1}=\dfrac{20}{10}=2K\cdot W^{-1}\)

  1. Pour l’épaisseur \(e_2\), on a \(Q_2=\Phi_2\cdot\Delta T_2\)

\(\Rightarrow \Phi_2=\dfrac{Q_2}{\Delta T_2}=\dfrac{40.10^3}{2\times3600}=5,6W\)

\(\Rightarrow R_{th2}=\dfrac{\Delta T_2}{\Phi_2}=\dfrac{25}{5,6}=4,5K\cdot W^{-1}\)

  1. Conductivité thermique :

\(\lambda_1=\dfrac{e_1}{S_1\cdot R_{th1}}=\dfrac{100.10^{-3}}{2,0\times2}=2,5.10^{-2}W.K^{-1}.m^{-1}\)

\(\lambda_2=\dfrac{e_2}{S_2\cdot R_{th2}}=\dfrac{200.10^{-3}}{1,78\times4,5}=2,5.10^{-2}W.K^{-1}.m^{-1}\)

  1. On a \(\lambda_1\approx \lambda_2\)

Les conductivités de ces deux échantillons sont identiques. Leurs différences de propriétés sont donc simplement dues à la différence d’épaisseur.

  1. On a \(\Phi=\dfrac{\Delta T}{R_{th}}\)

Or \(\lambda=\dfrac{e}{S\cdot R_{th}}\Rightarrow R_{th}=\dfrac{e}{S\cdot\lambda}\)

On peut donc remplacer dans l’expression précédente :

\(\Phi=\dfrac{\Delta T\cdot \lambda\cdot S}{e}\)

  1. Pour minmiser les pertes thermiques, il faut avoir \(\Phi\) aussi petit que possible. Il faut donc que les termes au numérateur soient faibles et que le numérateur soit élevé. D’où :
  • \(\lambda\) doit être faible \(\Rightarrow\) choix de matériaux très isolants.
  • \(S\) soit être faible \(\Rightarrow\) choix architecturaux vers des bâtiments de forme compacte, avec aussi peu que possible de surface en contact avec l’extérieur.
  • \(e\) doit être élevée \(\Rightarrow\) forte épaisseur de matériau isolant.

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