1^ère question

1.1 Soit \(u\) la fonction définie sur \(I = ]0 ; +∞[\) telle que \(u(x)= x^2-2+\ln x\)

Tableau de variations de u :

La dérivée de u : \(u'(x)= 2x+\dfrac{1}{x}\)

On cherche les racines de \(u’(x)\).

\(2x+\dfrac{1}{x}=0\Leftrightarrow 2x^2+1=0\Leftrightarrow x^2=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\) pas de solutions dans \(\mathbb{R}\).

\(u’(x) > 0\) sur \(I\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0+} \ln{x}=-\infty \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow 0+} u(x)=-\infty\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2=+\infty \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} u(x)=+\infty\)

1.2 Justifier de l’existence d’un unique réel \(\alpha\) tel que \(u(\alpha)=0\)

\(u\) strictement croissante sur \(]-\infty, +\infty[\). Par ailleurs, les valeurs de \(u(x)\) sont négatives quand \(x\) est proche de zéro et positives quand \(x\) tend vers \(+\infty\) donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un seul réel \(\alpha\) pour lequel \(u(\alpha) = 0\)

On admet \(\alpha\approx 1,31\)

1.3 Tableau de signes de \(u\) :

1.4 \(u(\alpha)=0 \Leftrightarrow u(\alpha)=\alpha^2-2+\ln(\alpha)=0 \Leftrightarrow \ln(\alpha)=2-\alpha^2\)

2. Soit la fonction f : \(f(x)=x^2+(2-\ln x)^2\)

2.1 Calcul de la dérivée.

On sait que \((u^n)’=nu’n^{n-1}\)

La dérivée du terme au carré est donc :

\([(2-\ln x)^2]’=2\cdot(-\dfrac{1}{x})\cdot (2-\ln x)\)

\(\Rightarrow f'(x)=2x+2\cdot(-\dfrac{1}{x})\cdot (2-\ln x)=\dfrac{2x^2}{x}-\dfrac{4}{x}+\dfrac{2\ln x}{x}=\dfrac{2}{x}\cdot(x^2-2+\ln x)=\dfrac{2u(x)}{x}\)

2.2 On a \(X > 0\) donc le signe de \(f’(x)\) est le même que celui de \(u(x)\), d’où :

2.3 On sait que \(\ln \alpha=2-\alpha^2\)

\(f(\alpha)=\alpha^2+[2-\ln \alpha]^2=\alpha^2+[2-(2-\alpha^2)]^2=\alpha^2+\alpha^4=\alpha^2(1+\alpha^2)\)

3. Soit M un point de la courbe \(\Gamma\). Il a comme coordonnées \(x\) et \(y=\ln (x)\)

\(AM^2=(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=(x-x_A)^2+(\ln(x)-y_A)^2=(x-0)^2+(\ln x-2)^2=x^2+(\ln x-2)^2=f(x)\)

\(\Rightarrow AM=\sqrt{f(x)}\)

3.2 La distante \(AM\) est minimale pour \(f(x)\) minimale donc pour \(x = \alpha\)

\(\Rightarrow AM\) minimale pour \(M_0\) de coordonnées \((\alpha;\ln \alpha)\).

3.3 On sait que \(f(\alpha)=\alpha^2\cdot(1+\alpha^2)\)

Donc \(AM_0=\sqrt{f(\alpha)}=\sqrt{\alpha^2\cdot(1+\alpha^2)}=\alpha \sqrt{1+\alpha^2}\)

3.4 Des droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égale à -1.

\(M_0\) a pour abscisse \(\alpha\) donc la pente de la tangente à \(\Gamma\) en \(M_0\) a pour coefficient directeur la dérivée de la fonction \(\ln\) en \(\alpha\), soit\(\dfrac{1}{\alpha}\).

La droite \((AM_0)\) a pour coefficient directeur \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\ln \alpha – 2}{\alpha – 0}=\dfrac{-\alpha^2}{\alpha}=-\alpha\)

On a bien le produit des coefficients directeurs égal à -1 donc les droites sont perpendiculaires.

2^ème question

1. La fonction f est définie par \(f(x)=5-\dfrac{4}{x+1}\)

1.1 \(f(x)=5-4(x+1)^{-1}\) donc

\(f'(x)=-4\cdot (-1)(x+1)^{-2}=\dfrac{4}{(x+1)^2}\)

\(f’\) est toujours positive donc \(f\) est strictement croissante.

\(f(x)=0\) pour \(x=-1/5\) donc pas de racine sur I.

\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=5\)

1.2 Solution de l’équation \(f(x)=x\) ?

\(f(x)=5-\dfrac{4}{x+1}=x\)

\(\Rightarrow x-5=-\dfrac{4}{x+1}\)

\(\Rightarrow (x-5)(x+1)=-4\)

\(\Rightarrow x^2-4x-1=0\)

Oncherche les racines de ce polynôme.

\(\Delta=b^2-4ac=16-4\times1\times(-1)=20=2\sqrt5\)

Les deux solutions sont tonc \(x_1=\dfrac{4+2\sqrt5}{2}=2+\sqrt5\) et \(x_2=2-\sqrt5\)

On a \(x_2<0\) donc \(x_1\) est la seule solution sur l’intervalle de définition de \(f\).

On trouve \(\alpha=x_1=2+\sqrt5\approx 4,23\)

1.3 \(f(x)\) est strictement croissante, donc pour \(x \in [0;\alpha]\), \(f(x) \in [f(0);f(\alpha)]\)

On a \(f(0)=1\) et \(f(\alpha)=\alpha\)

Donc pour \(x \in [0;\alpha]\), \(f(x) \in [1;\alpha] \in [0;\alpha]\)

2. Etude de la suite \(u\) telle que \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\)

2.1 \(u_1=f(u_0 )=f(0)=1\)

2.2 Le graphique de l’énoncé est reproduit ci-dessous :

2.3 On peut conjoncturer que la suite est croissante et converge vers \(\alpha\).

2.4 On veut démontrer que \(0≤u_n<u_{n+1}<\alpha\).

Initialisation :

\(0 ≤ u_0=0 < u_1=1 < \alpha\approx 4,2\)

Donc la proposition est vérifiée au rang \(n=0\).

Hérédité :

Supposons la proposition vérifiée au rang \(n\) et montrons qu’elle l’est alors nécessaitement au rang \(n+1\).

\(0≤u_n<u_{n+1}<\alpha\)

Comme la fonction \(f\) est croissante, on a alors \(f(0)≤f(u_n)<f(u_{n+1})<f(\alpha)\)

Soit : \(1≤u_{n+1}<u_{n+2}<\alpha\) car \(f(\alpha)=\alpha\)

Et donc \(0≤u_{n+1}<u_{n+2}<\alpha\)

La proposition est donc également vérifiée au rang \(n+1\).

2.5 Une suite croissante et majorée admet une limite. Appelons-la \(l\). Si \(u_n\) converge \(l\) alors \(f(u_n)\) converge vers \(f(l)\), donc \(u_{n+1}\) converge vers \(f(l)\).

Comme \(u_n\) et \(u_{n+1}\) convergent vers la même limite, on a \(l=f(l)\).

Or on a vu ci-dessus que la solution à l’équation \(f(x)=x\) est \(\alpha\), donc \(u_n\) converge vers \(\alpha\).

2.6 En langage R, par exempe pour \(\varepsilon=10^{-3}\), on ontient \(n=6\) :

epsilon <- 1e-3
alpha <- 2+sqrt(5)

n <- 0
f <- function(x) {5-4/(x+1)}
u <- 0

while (abs(u-alpha) > epsilon) {
  n <- n+1
  u <- f(u)
}

print (n)

## [1] 6

3. Comportement de la suite pour \(u_0\) quelconque.

On peut conjecturer :

• Si \(u_0<\alpha\), même raisonnement que pour \(u_0=0 \Rightarrow\) la suite est croissante et tend vers \(\alpha\)
• Si \(u_0=\alpha\), la suite est constante
• Si \(u_0>\alpha\), elle est décroissante et tend également vers \(\alpha\).

Démonstration dans cette dernière situation :

Soit la proposition \(P_n\) : \(\alpha\le u_{n+1}\le u_n\)

Initialisation : montrons que \(P_0\) est vérifiée (soit \(\alpha\le u_{1}\le u_0\))

\(u_0>\alpha \Rightarrow f(u_0)>f(\alpha)\Rightarrow u_1>\alpha\)

\(u_1-u_0=5-\dfrac{4}{u_0+1}-u_0=\dfrac{5(u_0+1)-4-u_0(u_0+1)}{u_0+1}=\dfrac{5u_0+5-4-u_0^2-u_0}{u_0+1}=\dfrac{4u_0+1-u_0^2}{u_0+1}\)

Le dénominateur est positif donc \(u_1-u_0\) est du signe du polynôme \(g : u_o \rightarrow -u_0^2+4u_0+1\)

La dérivée de ce polinôme est \(g'(x)=-2x+4 \Rightarrow g\) a un maximum pour \(x=2\) et décroit pour \(x>2\), donc sur l’intervalle \(]\alpha;+\infty[\).

\(g(\alpha)=-\alpha^2+4\alpha+1=-4(2+\sqrt5)^2+4(2+\sqrt5)+1=0\)

Le tableau de variation de \(g\) est donc

Comme \(g\) est décroissante sur \(]\alpha;+\infty[\) et que \(u_0>\alpha\), on a :

\(g(u_0)<g(\alpha)=0\) donc \(g(u_0)<0\) et par conséquent \(u_1-u_0<0\)

On a donc bien \(u_1<u_0\)

Par ailleurs, \(u_0 > \alpha\Rightarrow\) comme \(f\) est croissante, \(f(u_0)>f(\alpha) \Rightarrow u_1>\alpha\)

On a donc bien \(\alpha\le u_{1}\le u_0\) et \(P_0\) est vérifiée.

Hérédité

Supposons la proposition \(P_n\) vérifiée au rang \(n\) : \(\alpha\le u_{n+1}\le u_n\)

La fonction \(f\) est croissante, donc \(f(\alpha)\le f(u_{n+1})\le f(u_n)\)

\(\Rightarrow \alpha\le u_{n+2}\le u_{n+1}\Rightarrow P_{n+1}\) est vérifiée.

O a donc montré par récurrence que la suite \(u\) était décroissante et minorée, donc elle converge. Comme elle converge, sa limite est telle que \(l=f(l)\) donc elle est égale à \(\alpha\).

3^ème question

On a les points d’affixe :

\(a=3i\)

\(b=2i\)

\(c=3\sqrt2e^{i\dfrac{\pi}{4}}\)

Et la fonction f telle que \(f(z)=\dfrac{3iz}{z-2i}\)

1. \(a’=f(a)=\dfrac{3i\cdot3i}{3i-2i}=\dfrac{-9}{i}=\dfrac{-9i}{i^2}=9i\)

On a \(c=3\sqrt2e^{i\dfrac{\pi}{4}}=3\sqrt2 [\cos \dfrac{\pi}{4}+i\cdot \sin \dfrac{\pi}{4}]=3\sqrt2 [\dfrac{\sqrt2}{2}+i\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}]=3+3i\)

\(\Rightarrow c’=f(c)=\dfrac{3i\cdot(3+3i)}{3+3i-2i}=\dfrac{9i-9}{3+i}=\dfrac{(9i-9)\cdot(3-i)}{(3+i)(3-i)}= \dfrac{27i+9-27+9i}{9+1}=\dfrac{36i-18}{10}=\dfrac{18i-9}{5}\)

2. On cherche le point \(D\) d’affixe \(z_D\) dont l’image a pour affixe \(i\).

\(f(z_D)=\dfrac{3iz_D}{z_D-2i}=i \Rightarrow 3z_D=z_D-2i \Rightarrow 2z_D=-2i \Rightarrow z_D=-i\)

3. Un point d’affixe \(z\) est invariant \(\Leftrightarrow f(z)=\dfrac{3iz}{z-2i}=z \Rightarrow 3i=z-2i\Rightarrow z=5i\)

4. \(z’-3i=\dfrac{3iz}{z-2i}-\dfrac{3i.(z-2i)}{z-2i}=\dfrac{3iz-3iz-6}{z-2i}=\dfrac{-6}{z-2i}\)

5. Le point \(M\), d’affixe \(z\), appartient au cercle de centre \(B\), d’affixe \(b=2i\) et de rayon 3 \(\Leftrightarrow MB = 3\)

\(\Leftrightarrow |z-b| = 3\)

\(\Leftrightarrow |z-2i| = 3\)

Or, \(z’-3i=\dfrac{-6}{z-2i} \Rightarrow |z’-3i|=\dfrac{|-6|}{|z-2i|}=\dfrac{|-6|}{3}=2\)

Donc le point \(M’\) d’affixe \(z’\) se trouve sur le cercle de rayon 2 et de centre \(A\) d’affixe \(2i\).

6. Le produit scalaire est égal au produit de leur norme multiplié par le cos de l’angle entre eux. On appelle \(\alpha\) l’angle \((\vec u, \vec {AM’})\) et \(\beta\) l’angle \((\vec u, \vec {BM})\)

Le point \(M’\) est sur le cercle \(\Gamma’\) donc \(AM’=2\)

\(\Rightarrow \vec u \cdot \vec {AM’}=1\times2\times \cos \alpha=2 \cos \alpha\)

De même, \(\Rightarrow \vec u \cdot \vec {BM}=3 \cos \beta\)

On a \(\dfrac{\vec u \cdot \vec {AM’}}{\vec u \cdot \vec {BM}}=\dfrac{z’-3i}{z-2i}\)

D’où, sachant que \(z’-3i=\dfrac{-6}{z-2i}\) :

\(\dfrac{\vec u \cdot \vec {AM’}}{\vec u \cdot \vec {BM}}=\dfrac{-6}{(z-2i)^2}=-\dfrac{6}{9}=-\dfrac{2}{3}\)

Or, on a \(\dfrac{\vec u \cdot \vec {AM’}}{\vec u \cdot \vec {BM}}=\dfrac{2 \cos \alpha}{3 \cos \beta}\)

\(\Rightarrow \dfrac{2 \cos \alpha}{3 \cos \beta}=-\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow \dfrac{\cos \alpha}{\cos \beta}=-1\)

7. Le point \(N\) a pour affixe \(\dfrac{3}{\sqrt2}+(2+\dfrac{3}{\sqrt2})i\)

Le cercle \(\Gamma\) a pour centre B(\(b=2i\)) et pour rayon 3.

\(N \in \Gamma \Leftrightarrow BN=3\)

\(BN=|BN|=|z_N-z_B|=|\dfrac{3}{\sqrt2}+(2+\dfrac{3}{\sqrt2})i-2i|=|\dfrac{3}{\sqrt2}+\dfrac{3}{\sqrt2}i|=\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}}=3\)

\(\Rightarrow N \in \Gamma\)

On a vu ci-dessus que \(BN=z_N-z_B=\dfrac{3}{\sqrt2}+\dfrac{3}{\sqrt2}i\)

\(\Rightarrow \tan(\arg (\vec {BN}))=\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt2}}{\dfrac{3}{\sqrt2}}=1 \Rightarrow (\vec u, \vec {BN})=\dfrac{\pi}{4}\)

8. On a vu que si un point est sur le cercle \(\Gamma\), ce qui est le cas de \(N\), son image était sur le cercle \(\Gamma’\). On a donc \(N’ \in \Gamma’\).

On appelle \(\alpha\) l’angle \((\vec u, \vec {AN’})\) et \(\beta\) l’angle \((\vec u, \vec {BN})\)

On a \(\dfrac{\cos \alpha}{\cos \beta}=-1 \Rightarrow \cos \alpha=-\cos \beta=\cos \dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow \alpha=\dfrac{3\pi}{4}\)

\(N’\) est donc à l’intersection entre le cercle \(\Gamma\) et la droite de coeffixient directeur \(-1\) et passant par le point \(A\).

4^ème question

Les coordonnées des points sont \(A\begin{bmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\), \(B\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}\), \(C\begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}\) et \(D\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 6 \end{bmatrix}\)

1. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si \(\vec {AB}=k\cdot \vec {BC}\)

On a \(\vec {AB}\begin{bmatrix} 7 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}\) et \(\vec {BC}\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}\)

Ils ne sont pas proportionnels, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Le triangle ABC est rectangle en C \(\Leftrightarrow \vec {CA} \cdot \vec {CB}=0\)

On a \(\vec {CA}\begin{bmatrix} -5 \\ -5 \\ 0 \end{bmatrix}\) et \(\vec {BC}\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{bmatrix} \Rightarrow \vec {CA} \cdot \vec {CB}=-10+10+0=0\)

Donc les points A, B et C sont alignés.

Comme il est rectangle en C, l’aire du triangle ABC est \(S=\dfrac {1}{2} AC\cdot BC\)

\(AC=\sqrt{25+25+0}=\sqrt{50}=\sqrt{2\times 25}=5\sqrt{2}\)

\(BC=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=\sqrt{3\times 4}=2\sqrt{3}\)

\(S=\dfrac {1}{2} AC\cdot BC=\dfrac {1}{2} 5\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}=5\sqrt{6}\)

3.1 Soit \(\vec n\begin{bmatrix} 1 \\ b \\ c \end{bmatrix}\)

\(\vec n \perp (ABC) \Leftrightarrow \vec n \cdot \vec{AB}=0\) et \(\vec n \cdot \vec{BC}=0\)$

\(\vec n \cdot \vec{AB}=\begin{bmatrix} 1 \\ b \\ c \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -5 \\ -5 \\ 0 \end{bmatrix}=-5-5b=0\Rightarrow b=-1\)

\(\vec n \cdot \vec{BC}=\begin{bmatrix} 1 \\ b \\ c \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{bmatrix}=2-2b-2c=0\Rightarrow c=2\)

On a donc \(\vec n\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\)

3.2 Comme \(\vec n\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \perp (ABC)\), l’équation cartésienne du plan peut s’écrire sous la forme :

\(x-y+2z+d=0\)

\(A \in (ABC) \Rightarrow x_A-y_A+2z_A+d=0 \Rightarrow -4-0+2\times 1+d=0\Rightarrow d=2\)

L’équation cartésienne du plan est donc \(x-y+2z+2=0\)

3.3 \(B \in (ABC) \Leftrightarrow x_D-y_D+2z_D+2=0\)

\(x_D-y_D+2z_D+2=0-2+12+2=12 \neq 0 \Rightarrow D \notin (ABC)\)

4. On appelle \(d\) la droite orthogonale à ABC passant par D.

\(M\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in d \Leftrightarrow \vec {DM}=k.\vec n\Rightarrow \begin{bmatrix} x-0 \\ y-2 \\ z-6 \end{bmatrix}=k\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\)

Une représentation paramétrique de la droite \(d\) est donc :

4.2 On a \(H = d \cap (ABC)\)

\(H \in d\)

Par ailleurs \(H \in (ABC)\Rightarrow x_H-y_H+2z_H+2=0\Rightarrow k-(2-k)+2(6+2k)+2=0\Rightarrow 6k+12=0\Rightarrow k=-2\)

5.1 On a \(DH=\sqrt{(0+2)^2+(2-4)^2+(6-2)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt6\)

5.2 Le volume d’un tétraèdre est le tiers du produit de la surface de sa base par la hauteur associée donc :

\(V=\dfrac{1}{3}\cdot S(ABC)\cdot DH=\dfrac{1}{3}\cdot 5\sqrt{6}\cdot 2\sqrt6=20\)

6. Soit \(\alpha\) l’angle entre les vecteurs \(\vec {AD}\) et \(\vec {BD}\). On va chercher \(cos\alpha\) en utilisant la formule \(\vec {AD}\cdot \vec {BD}=|AD|\cdot |BD|.\cos\alpha\)

\(\vec {AD}\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}\) et \(\vec {BD}\begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 7 \end{bmatrix}\Rightarrow \vec {AD}\cdot \vec {BD}=-12-2+35=21\)

Par ailleurs \(|AD|=\sqrt{4^2+2^2+5^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5\)

et \(|BD|=\sqrt{3^2+1^2+7^2}=\sqrt{59}\)

\(\vec {AD}\cdot \vec {BD}=|AD|\cdot |BD|\cdot \cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha=\dfrac{\vec {AD}\cdot \vec {BD}}{|AD|\cdot |BD|}=\dfrac{21}{3\sqrt5 \sqrt{59}}=\dfrac{7}{\sqrt5 \sqrt{59}}\)

On obtient donc \(\alpha=\widehat{ADB}=66°\)

1^ère QUESTION

1. La force de gravité exercée sur Triton est dirigée vers Neptune :

\(\vec F=-G.\dfrac{M_N.M_1}{R_1^2}.\vec u\)

\(F=6,67.10^{-11}\times\dfrac{1,025.10^{26}\times2,147.10^{22}}{(3,547.10^8)^2}=1,17.10^{21}N\)

2. Représentation schématique de la base de Frenet :

RFD \(\Rightarrow \sum \vec F=m.\vec a\). Triton n’est soumis qu’à la force de gravité donc :

\(-G.\dfrac{M_N.M_1}{R_1^2}.\vec u=M_1.\vec a\)

\(\Rightarrow \vec a=-G.\dfrac{M_N}{R_1^2}.\vec u\)

Dans le repère de Frénet, on sait que l’accélération peut être décomposée en une composante tangentielle est une composante radiale telles que :

\(\vec a=\dfrac{dV}{dt}.\vec t+\dfrac{V^2}{R_1}.\vec n\)

En identifiant cette expression de l’accélération avec celle au-dessus, il apparaît que la composante de l’accélération selon \(\vec t\) est nulle, donc \(\dfrac{dV}{dt}=0\) donc la vitesse est constate. Le mouvement de Triton est donc uniforme.

3. En identifiant les deux mêmes expressions, pour ce qui est de leurs composantes en \(\vec n\), on obtient :

\(\dfrac{V^2}{R_1}=G.\dfrac{M_N}{R_1^2}\)

\(\Rightarrow V=\sqrt{\dfrac{G.M_N}{R_1}}\)

4. La vitesse est

\(V=\sqrt{\dfrac{G.M_N}{R_1}}=\sqrt{\dfrac{6,67.10^{-11}\times1,025.10^{26}}{3,547.10^8}}=4390m.s^{-1}\)

La vitesse calculée est de \(4,39 km.s^{-1}\), un peu supérieure à celle donnée dans l’énoncé, mais cette dernière est donnée avec un seul chiffre significatif et la vitesse calculée, à un chiffre significatif, s’arrondit aussi à \(4 km.s^{-1}\).

5. La période de révolution est le temps nécessaire pour effectuer une fois le tour de Neptune. La distance à parcourir est la circonférence du cercle correspondant, soit \(d=2.\pi.R_1\).

On sait que \(T_{rev}=d/V=2.\pi.R_1.\sqrt{\dfrac{R_1}{G.M_N}}=2.\pi.\sqrt{\dfrac{R_1^3}{G.M_N}}\)

6. Application numérique

\(T_{rev}=2.\pi.\sqrt{\dfrac{(3,547.10^8)^3}{6,67.10^{-11}.1,025.10^{26}}}=508000s=5,875\ jours\ solaires\approx 5,877\ jours\ solaires\)

La légère différence est peut-être due à des arrondis ; par exemple sur la durée du jour solaire qui est en fait de 86 164 secondes.

2^ème QUESTION

1. Le poids du proton a pour norme \(P=m_{proton}.g=1,73.10^{-26}N\)

La force électrostatique a pour norme \(F=e.E=8.10^{-16}N\)

On a donc \(F/P\approx 10^{10}\) ; la force électrostatique est plus d’un milliard de fois supérieure au poids.

2. La plaque (P) est positive et (N) est négative, donc \(U_{PN}>0\)

On sait que \(E=\dfrac{U_{PN}}{d}\Rightarrow U_{PN}=E.d=5000\times 0,1=500V\)

3. D’après la 2^ème loi de Newton, \(\sum \vec F=m. \vec a\)

Comme on peut négliger la force de gravité, il reste que la force électrostatique :

\(e. \vec E=m. \vec a\)

\(-e.E.\vec j=m. \vec a\)

On a donc \(a_x=0\) et \(a_y=-\dfrac{eE}{m_{proton}}=-\dfrac{1,6.10^{-19}\times 5000}{1,67.10^{-27}}=-4,79.10^{11}m.s^{-2}\)

4. On intègre l’accélération pour obtenir d’abord la vitesse, puis la position.

\(a_x=0\Rightarrow v_x=Cte\) Comme à \(t=0\), \(v_x=v_0.cos\alpha\), quel que soit t, on a \(v_x(t)=v_0.cos\alpha\)

On intègre à nouveau :

\(x(t)=v_0.cos\alpha.t+Cte\) comme à t=0 on a \(x=0\), la constante est nulle

\(\Rightarrow x(t)=v_0.cos\alpha.t\)

On procède ensuite de même sur l’axe (Oy) :

\(a_y=-\dfrac{eE}{m_{proton}}\)

\(\Rightarrow v_y(t)=-\dfrac{eE}{m_{proton}}\cdot t+Cte\)

A \(t=0\), \(v(0)=v_0\sin\alpha\) donc c’est aussi la valeur de la constante.

\(\Rightarrow v_y(t)=-\dfrac{eE}{m_{proton}}\cdot t+v_0\sin\alpha\)

On intègre une seconde fois, et en prenant en compte qu’à \(t=0\) on a \(y=0\), on obtient :

\(y(t)=-\dfrac{eE}{2m_{proton}}\cdot t^2+v_0\sin\alpha\cdot t\)

5. Equation cartésienne de la trajectoire :

Comme \(x(t)=v_0.cos\alpha.t\), on peut écrire : \(t=\dfrac{x}{v_0.cos\alpha}\) et remplacer \(t\) dans l’expression de \(y\) :

\(y(t)=-\dfrac{eE}{2m_{proton}}\cdot t^2+v_0\sin\alpha\cdot t=-\dfrac{eE}{2m_{proton}}\cdot {(\dfrac{x}{v_0.cos\alpha}})^2+v_0\sin\alpha\cdot \dfrac{x}{v_0.cos\alpha}\)

\(y(t)=-\dfrac{eE}{2m_{proton}v_0^2.cos^2\alpha}x^2+\tan\alpha\cdot x\)

On a un polynôme de forme \(y=ax^2+bx+c\) donc la trajectoire est une parabole.

Au point de sortie \(S\) on a \(x_S=L\)

\(\Rightarrow y_S=-\dfrac{eE}{2m_{proton}v_0^2.cos^2\alpha}L^2+\tan\alpha\cdot L\)

\(\Rightarrow y_S=-\dfrac{1,6.10^{-19}\times 5000}{2\times 1,67.10^{-27}\times (1,0.10^6)^2\times cos^210°}\times 0,20^2+\tan10° \times 0,2=0,045m=4,5cm\)

3^ème QUESTION

1. L’enregistrement 1 correspond au diapason, le 2 à la guitare.

2. On lit qu=e pour chacun des enregistrements, on a 4 périodes en 9,2ms. Ils ont donc la même fréquence :

\(f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{4}{9,2.10^{-3}}=440Hz\)

3. Le spectre de fréquence du diapason ne fait apparaître qu’une fréquence, la fondamentale, alors que celui de la guitare comprend aussi des harmoniques.

4. Le niveau sonore est \(L=10\log_{10}\dfrac{I}{I_0}\)

\(\Rightarrow \dfrac{I}{I_0}=10^{L/10}\)

\(\Rightarrow I=I_0\cdot 10^{L/10}=10^{-12}\times 10^7=10^{-5}W.m^{-2}\)

5. \(L=10\log_{10}\dfrac{2\times10^{-5}}{10^{-12}}=73dB\)

6. On a montré ci-dessus que :

\(I=I_0\cdot 10^{L/10}\)

\(\Rightarrow I=10^{-12}\times 10^{\frac{79}{10}}=8.10^{-5}W.m^{-2}\)

Comme l’intensité produite par une guitare est \(10^{-5}W.m^{-2}\), il faudra 8 guitares pour avoir \(8.10^{-5}W.m^{-2}\) et donc 79dB.

4^ème QUESTION

1. Le flux est obtenu par la relation \(\Phi=\dfrac{\Delta T}{R_{th1}}\)

\(\Rightarrow R_{th1}=\dfrac{\Delta T_1}{\Phi_1}=\dfrac{20}{10}=2K\cdot W^{-1}\)

2. Pour l’épaisseur \(e_2\), on a \(Q_2=\Phi_2\cdot\Delta T_2\)

\(\Rightarrow \Phi_2=\dfrac{Q_2}{\Delta T_2}=\dfrac{40.10^3}{2\times3600}=5,6W\)

\(\Rightarrow R_{th2}=\dfrac{\Delta T_2}{\Phi_2}=\dfrac{25}{5,6}=4,5K\cdot W^{-1}\)

3. Conductivité thermique :

\(\lambda_1=\dfrac{e_1}{S_1\cdot R_{th1}}=\dfrac{100.10^{-3}}{2,0\times2}=2,5.10^{-2}W.K^{-1}.m^{-1}\)

\(\lambda_2=\dfrac{e_2}{S_2\cdot R_{th2}}=\dfrac{200.10^{-3}}{1,78\times4,5}=2,5.10^{-2}W.K^{-1}.m^{-1}\)

4. On a \(\lambda_1\approx \lambda_2\)

Les conductivités de ces deux échantillons sont identiques. Leurs différences de propriétés sont donc simplement dues à la différence d’épaisseur.

5. On a \(\Phi=\dfrac{\Delta T}{R_{th}}\)

Or \(\lambda=\dfrac{e}{S\cdot R_{th}}\Rightarrow R_{th}=\dfrac{e}{S\cdot\lambda}\)

On peut donc remplacer dans l’expression précédente :

\(\Phi=\dfrac{\Delta T\cdot \lambda\cdot S}{e}\)

6. Pour minmiser les pertes thermiques, il faut avoir \(\Phi\) aussi petit que possible. Il faut donc que les termes au numérateur soient faibles et que le numérateur soit élevé. D’où :

• \(\lambda\) doit être faible \(\Rightarrow\) choix de matériaux très isolants.
• \(S\) soit être faible \(\Rightarrow\) choix architecturaux vers des bâtiments de forme compacte, avec aussi peu que possible de surface en contact avec l’extérieur.
• \(e\) doit être élevée \(\Rightarrow\) forte épaisseur de matériau isolant.